Diferença entre permuta, combinação e arranjo

9 de fevereiro de 2018; 3 minutos de leitura

Sempre tive dificuldade de diferenciar estes três, então vou tentar explicar da forma mais visual possível.

Isso é muito útil principalmente quando você está estudando probabilidades, e se você for como eu, que confunde entre um e outro, definitivamente será útil.

Permuta

A permuta é utilizada para quando você quiser contar de quantos jeitos diferentes pode-se organizar um número de elementos. Acredito que o exemplo mais fácil da permuta são os anagramas. Pra quem não se lembra, anagramas é o “jogo” de palavras que você faz, trocando as letras de uma palavra de lugar, a fim de formar outra palavra.

Imagine a palavra SOL. São três letras. Vamos ver todas as possibilidades.

SOL
SLO
LOS
LSO
OSL
OLS

Fórmula da Permuta: $C = {n!}, \text{n = número de elementos}$

Seguindo o exemplo da palavra SOL, a fórmula aplicada seria a seguinte:

$C = {3!} = 6 \text{ possibilidades.}$

Outro exemplo seriam 15 carros em uma corrida, quais seriam todas as possíveis combinações de posições de chegada de todos os pilotos? Agora que temos a fórmula fica muito fácil. Vejamos:

$C = {15!} = \text{1 trilhão 307 bilhões 674 milhões e 368 mil possibilidades.}$

Wow!

Arranjo

Agora, voltando ao exemplo dos anagramas, imagine que nós desejamos que as letras não possam assumir a mesma posição mais de uma vez. É um pouco diferente da fórmula da permuta, onde agora vamos dividir o resultado das combinações dos nossos elementos, com a nosso desejo de que agora a ordem dos elementos tenham importância.

Fórmula do Arranjo:

$C = {n! \over (n-p)!}$ , onde $n = \text{número total de elementos}, p = \text{restrição}$

Vamos seguir com o exemplo da palavra SOL, e após com a palavra NOME. Desejamos agora que as letras NÃO repitam posições. Temos:

$C = {3! \over (3-1)!} = 3\text{ arranjos.}$

número total de elementos: 3; posições que cada elemento pode ocupar: 1

SOL
LSO
OLS

E agora com NOME:

$C = {4! \over (4-1)!} = 4\text{ arranjos.}$

número total de elementos: 4; posições que cada elemento pode ocupar: 1

NOME
ONEM
MENO
EMON

Outro exemplo. Você pode também imaginar que temos o pódio de uma competição, onde existem 30 judocas, mas somente são distribuídas três medalhas, quais são todas as possibilidades de pódium possíveis?

$C = {30! \over (30-3)! } = 24360 \text{ possibilidades.}$

Resumindo: no arranjo a ordem importa!

Combinação

Agora que você já está sacando o arranjo, na combinação existe uma sacada: a posição não importa! Porque na combinação João e Carlos, ou Carlos e João são a mesma coisa!

Imagine agora que você está dentro um filme de terror, e junto de você estão mais outras 3 pessoas e vocês precisam se separar em 2 grupos! (Porque em todo filme de terror, as pessoas sempre se separam).

A fórmula é padrão é a seguinte:

$C = {n! \over p! * (n-p)!}$

onde: n = números total de elementos p = restrição

Agora vamos aplicá-la no nosso problema:

$C = {4! \over 2! * (4-2)!} = 6 \text{ grupos diferentes.}$

$n = 4$ sobreviventes

$p = 2\text{ pessoas por grupo}$

Vamos verificar se são 6 grupos mesmo??

Total de pessoas: João, Maria, Carlos, Eu

| Eu e João     | Maria e Carlos |
| Eu e Maria    | João e Carlos  |
| Eu e Carlos   | João e Maria   |

Yes! Exatamente 6 grupos diferentes. Se você tentasse efetuar esse cálculo utilizando o “jeito” do arranjo, notaria que ele cria o dobro de grupos, isso porque pro arranjo, o grupo Eu e João, e João e Eu são diferentes!

Por isso que importante saber qual fórmula utilizar para situações diferentes.